A borboleta tem uma história simbólica muito rica. Na cultura contemporânea, eles (sem dúvida) representam liberdade, chance e mudança, mas classicamente se referem à psique.
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Na páprica, borboletas parecem aparecer como o primeiro sinal de uma transição entre realidade e sonhoe para significar uma invasão (ou ruptura) do subconsciente. Mas acontece apenas - eu acho - quando o subconsciente é invadido diretamente, sem o uso de um sonho, pois esse é um dos recursos do DC Mini que deve ser restringido ao longo do filme. É também por isso que isso só acontece
when Dr. Seijirō Inui, a.k.a. the Chairman, pervades the unknowing minds of Himoro, Shima, Tokita, and later even that of Konakawa and Chiba/Paprika.
A única exceção é quando o Dr. Tokita se junta ao sonho de Himoro.
Isso pode ser explicado por ele usando um DC Mini recém-construído: afinal, até onde eu sei, a reação alérgica (a anafilaxia✝ eles falam) se espalham pelo (in) consciente coletivo por meio dos DC Mini infectados.
Outra explicação, como as borboletas parecem aparecer exclusivamente em torno do Dr. Chiba, é que eles representam lucidez. Isso está muito bem ligado à seguinte observação:
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Quando Paprika é pega por Osanai, ela é - como os espécimes expostos nas caixas de madeira nas paredes ao seu redor - presa à mesa como uma borboleta:

O simbolismo da cena em que Osanai a rasga da aparência de Paprika é ilustrativo do significado da borboleta no filme: arrancada como de um casulo, Chiba cai no chão, transformada em um estágio de pupa, nua e sem asas - ela perde a lucidez, pois 'derruba' a páprica:
Essa cena, evocando a mitologia clássica, lembra Psique, o personagem grego antigo da história de Psique e Eros, cujo nome se tornou sinônimo de "alma" ou "espírito" (ou, naturalmente, "psique"): nas artes visuais, ela é frequentemente retratada com asas de borboleta. Asas são frequentemente associadas à mente, como Hypnos ('sono') e Morfeu ('Sonhe') (desde Ovídio, pelo visto).
Eu realmente não sei de onde você tira a ideia de que "um cachorro sentado ao lado de um canil aparece antes e depois dos sonhos na páprica". Até onde eu sei, a única vez em que é cortada no filme de maneira suspeita é quando o Dr. Shima pula pela janela e vemos esse cachorro olhando para cima:

Embora sua ação seja induzida por um sonho, vemos o salto de Shima ocorrendo da realidade, e o cachorro é cortado logo antes de ele pular, provavelmente porque Shima estava jogando um frisbee com ele há pouco tempo. Parece existir apenas para criar suspensão, embora poderia se referir à bondade e fidelidade do médico.
✝ Observação adicional: o colorau (ou pimentão) é uma causa comum de anafilaxia.