Há alguma conseqüência para o Dashing a cada rodada?

Você pode correr a cada rodada livremente, a menos que seu Mestre diga o contrário

During the chase, a participant can freely use the Dash action a number of times equal to 3 + its Constitution modifier. Each additional Dash action it takes during the chase requires the creature to succeed on a DC 10 Constitution check at the end of its turn or gain one level of exhaustion.

Como o DMG sugere, quando você persegue (ou foge de) alguém, você pode mover 60 pés 3 + CON vezes sem problemas, então você tem que fazer um teste CON ou obter um nível de exaustão. DMG assume essas regras para perseguições, mas nada impede que seu Mestre as use em combate também, se elas acharem que é razoável.

No entanto, os níveis de exaustão obtidos durante a perseguição não são "reais" - todos eles podem ser removidos com um único descanso curto:

A participant drops out of the chase if its exhaustion reaches level 5, since its speed becomes 0. A creature can remove the levels of exhaustion it gained during the chase by finishing a short or long rest.

Can I use the Dash action every round without any consequences?

Por uma aplicação rigorosa das regras de movimento, sim. O DMG introduziu as regras do Chase que permitem ao Mestre mudar isso, adicionando um elemento aleatório a ele.

Cabe ao DM. RAW, há as regras de perseguição para perseguições, que afirmam que:

During the chase, a participant can freely use the Dash action a number of times equal to 3 + its Constitution modifier. Each additional Dash action it takes during the chase requires the creature to succeed on a DC 10 Constitution check at the end of its turn or gain one level of exhaustion.

A participant drops out of the chase if its exhaustion reaches level 5, since its speed becomes 0. A creature can remove the levels of exhaustion it gained during the chase by finishing a short or long rest. (DMG 252)

Claro, isso não é necessário para encontros de combate a serem usados e nem mesmo é necessário para ser usado para perseguições (embora isso faça com que as perseguições sejam muito mais divertidas, na minha opinião).

De uma perspectiva DM, eu optaria por usar as regras de perseguição, a menos que não houvesse uma boa razão para isso. Eu acho que os jogadores não parecem levar a ação do Dash com muita frequência de qualquer maneira.

Do I become exhausted if I move 60 feet every round with Dash?

A critério do DM, mas usando as regras de perseguição:

1. Este é o tempo do 3 + Con Mod usando o Dash? Se não, não .
2. A criatura passa um teste de habilidade de constituição de CD 10? Em caso afirmativo, não . Caso contrário, adicione um nível de exaustão .