He didn't exactly trust Tywin since he knows that he is indebted to him.
A dívida é exatamente o ponto.
E se Tywin, em vez de oferecer dinheiro para Robert pagar seus guardas, oferecer ao próprio King's Landing? Isso pode ser benéfico financeiramente para Robert, devido a Tywin menos do que seria quando apenas emprestava dinheiro.
Ou Tywin poderia simplesmente ter recusado qualquer outra maneira de ajudar; colocando assim Robert em uma posição impossível para pagar seus próprios guardas.
Lembre-se de que Robert tem algum tipo de vínculo, pois tem acesso direto a Cersei e seus (supostos) filhos. Se de alguma forma Tywin usou os guardas para assumir o controle da cidade, Robert poderia efetivamente tomar Cersei e as crianças como reféns. É um fato bem conhecido que o maior desejo de Tywin é seu legado, o que significa que Robert tem a alavancagem ideal.
A necessidade de precisar de dinheiro / guardas, combinada com o acesso à alavancagem (o futuro do legado de Tywin) em caso de traição, são razões muito boas para Robert aceitar o acordo de Tywin.
Além disso, Robert não está realmente querendo governar o reino, ele só quer aproveitar a vida que isso lhe proporciona. Ele diz isso a Ned (parafraseando: "Eu quero que você governe meu reino enquanto eu bebo e prostituto"), e enquanto isso era uma piada, também não era particularmente errado. Portanto, é lógico que Robert pode não se opor a um acordo com Tywin, onde Tywin obtém algum poder sombrio, mas Robert continua sendo a face pública do trono e pode beber / prostituta de acordo com o seu coração.
Robert Baratheon is King, so why didn't he move the Baratheon army to King's Landing?
Como este é um tempo de paz, os exércitos não estão atualmente cobrados. Os exércitos permanentes custam um punhado de dinheiro, e faz mais sentido dissolver a maioria do exército e recrutá-los, se necessário, no futuro.
Mesmo se Robert tivesse um exército, o que faz você pensar que ele não precisa pagá-los, exatamente como ele precisa pagar aos guardas? O mesmo problema de dinheiro surge.