A mordida tem que bater
De regras básicas sobre monstros, podemos ver a seguinte descrição da notação "hit" (ênfase minha):
Hit. Any damage dealt or other effects that occur as a result of an attack hitting a target are described after the "Hit" notation.
Como a mordida do cockatrice inclui o teste de resistência para evitar ser petrificado após a notação de acerto, como parte da ação da mordida (ênfase minha):
Bite. Melee Weapon Attack: +3 to hit, reach 5 ft., one creature. Hit: 3 (1d4 + 1) piercing damage, and the target must succeed on a DC 11 Constitution saving throw against being magically petrified. (...)
Como tudo isso faz parte da mesma ação, é necessário que a mordida seja atingida para que qualquer efeito seja acionado após a notação "Hit", incluindo o teste de resistência para evitar ser petrificado.
O Roll20 parece estar erroneamente separando a citação em duas frases que podem ter causado confusão (embora eu deva notar que, mesmo com este texto, o teste de resistência ainda exigiria um acerto). O texto no roll20 que você vinculou afirma:
Hit: (1d4 + 1) piercing damage. The target must succeed on a dc 11 constitution saving throw against being magically petrified.