Provavelmente durante a Primeira Era
A passagem de Contos Inacabados citado em chepner's A resposta deixa claro que os veículos com rodas, embora raros, existiam em Númenor "nos primeiros séculos". Isso coloca a invenção da roda o mais tardar nos primeiros séculos da Segunda Era.
In Númenor all journeyed from place to place on horseback;
...
Therefore the roads of Númenor were for the most part unpaved, made and tended for riding, since coaches and carriages were little used in the earlier centuries, and heavy cargoes were borne by sea. The chief and most ancient road, suitable for wheels, ran from the greatest port, Rómenna in the east, to the royal city of Armenelos ...
Unfinished Tales Part Two, Chapter I: A Description of the Island of Númenor
Page 164 (Houghton Mifflin Harcourt; 2012 Kindle Edition)
Não consegui encontrar nenhuma referência anterior às rodas, mas acho que podemos deduzir que elas foram inventadas anteriormente. A passagem citada de Contos Inacabados deixa claro que os númenorianos tinham pouca necessidade da roda quando se mudaram para Númenor, para que tivessem pouco incentivo para inventá-la.
Se os númenorianos já sabiam sobre a roda quando se mudaram para Númenor, eles devem ter adquirido esse conhecimento na Terra-média durante a Primeira Era. Isso sugere que a roda foi inventada na Primeira Era. Não encontro referência a rodas ou transporte de rodas na Primeira Era. Então, embora eu ache que a roda provavelmente foi inventada na Primeira Era, não sei dizer exatamente quando ou quem a inventou (embora meu dinheiro estivesse nos anões).
Como "os primeiros séculos" é bastante vago, procurei uma citação que desse uma data mais precisa. O melhor que pude encontrar também está em Contos Inacabados; tem uma data mais precisa (entre 873 e 892 da Segunda Era), mas refere-se a rodas d'água (presumivelmente para moinhos de água). Em nosso mundo, a roda era geralmente usada para transporte antes do desenvolvimento das rodas d'água, e parece razoável supor o mesmo aplicado em Númenor.
All things were made for their service: hills are for quarries, rivers to furnish water or to turn wheels, trees for boards ...
Unfinished Tales Part Two, Chapter II: Aldarion and Erendis
Page 199 (Houghton Mifflin Harcourt; 2012 Kindle Edition)
A citação é de uma carta a Ancalimë, escrita por sua mãe, algum tempo antes de Ancalimë ser nomeada herdeira do trono em 892, com a idade de 19 (portanto, entre 873 e 892).
Conclusão
As rodas de água estavam em uso em Númenor por algum tempo entre o 873 e o 892 da Segunda Era. A invenção da roda não foi posterior aos "primeiros séculos da Segunda Era", e provavelmente em algum momento da Primeira Era.