Does the new passport also come with visas stamped?
Não.
Por curiosidade, como você esperava que isso funcionasse?
Um passaporte é emitido pelo seu próprio país e o visto não é, esses são emitidos por outros países. Então, como seu país organizaria isso para você e por que deveria?
If not, then do I travel with the old (damaged) passport with valid visas and a new re-issued empty passport (just for stamping by the immigration officers when I travel) ? Or how does it work exactly?
Sim, é exatamente assim que isso funciona.
Seu passaporte antigo é invalidado, mas pode ser necessário solicitar explicitamente que o passaporte invalidado lhe seja devolvido, de preferência com as páginas que contêm visto válido sem danos, como os procedimentos típicos para invalidar passaportes parecem fazer alguns buracos muito grandes neles. (Veja por exemplo O que devo fazer com o meu passaporte expirado? )
Geralmente o visto em um passaporte antigo permanecerá válido. Os detalhes dependem dos países que emitem o visto e do seu novo passaporte.
Veja, por exemplo, perguntas e respostas específicas já presentes aqui:
O que acontece com os vistos que duram mais que um passaporte? ,
Posso viajar para o Canadá com visto válido em passaporte antigo / vencido? ,
Visto de turista válido no Vietnã com passaporte antigo,
Visto indiano válido com passaporte vencido etc etc