Existem três maneiras de se tornar um cavaleiro em Game of Thrones.
Outro cavaleiro pode fazer de você um cavaleiro:
Tormund: I'm no king. But if I were, I'd knight you 10 times over.
Jaime: You don't need a king. Any knight can make another knight.
Game of Thrones, Season 8 Episode 2, "A Knight of the Seven Kingdoms"
Como Podrick era o escudeiro de Brienne e serviu sob ela por um longo tempo, é muito possível que ela o cavalasse:
Podrick beams next to Jaime. Brienne paces. Bronn stands in the background.
Brienne: I don't need a squire.
Jaime: Of course you do.
Game of Thrones, Season 5 Episode 4, "Oathkeeper"
Um rei também pode fazer de alguém um cavaleiro, como o rei Joffrey Baratheon fez com Sor Bronn por causa de seu papel na Batalha de Blackwater:
Podrick: Ser Bronn of the Blackwater was anointed by the king himself.
Game of Thrones, Season 3 Episode 1, "Valar Dohaeris"
Como Podrick parece ser um membro da Guarda Real, parece possível que Bran o tenha ungido para a posição sob recomendação de Brienne e Tyrion.
Por fim, sabemos que Lordes e Damas podem cavalgar alguém, como Stannis fez com Sor Davos por contrabandear as cebolas para o Fim da Tempestade sob o cerco. É possível que, como Podrick tenha sido um escudeiro de Tyrion por um tempo e Tyrion gostasse bastante dele, ele também poderia tê-lo cavaleiro.
Eu me inclinaria para Brienne ter feito isso, mas sem mais evidências, não sabemos ao certo.