Should I try to cut out so both the existing and the new drywall will
touch half of the metal stud on each side? And put in screws on both
sides?
Sim, essa é uma maneira eficaz de fazer isso.
Outra maneira é adicionar uma placa, as placas 1 "x4" funcionam muito bem, como uma estrutura para parafusar.
Limpe seu orifício para que os cortes sejam retos e em graus 90 entre si, para que você possa usar um belo pedaço quadrado ou retangular como um adesivo. Coloque as tábuas de forma que metade dela fique atrás da chapa de pedra antiga, longitudinalmente ao longo do corte, e metade fique para fora, para que você tenha algo para aparafusar a nova peça. Aparafuse a placa no lugar da antiga pedra existente, verifique se as cabeças dos parafusos estão contra-afundadas.
Agora você pode cortar um pedaço para encaixar no buraco e parafusá-lo no lugar. Tape e lave as costuras. Areia e lama, areia e lama e areia, primeiro e pintar.
Flutuar um pouco junto com a lama é uma habilidade adquirida. Assista a alguns vídeos do YouTube e pratique uma simulação de um conjunto.