Não, você não pode usar o shove de ação bônus para atacar de qualquer outra maneira.
Como você observou: o esclarecimento de Jeremy Crawford no Twitter e subsequentes Atualização do 2019 no Sage Advice Compendium, o empurrão de ação bônus do Shield Master só pode ser realizado depois de completar toda a ação de ataque.
A primeira bala do Mestre dos Escudos feat (PHB, p. 170) diz:
If you take the Attack action on your turn, you can use a bonus action to try to shove a creature within 5 feet of you with your shield.
A palavra "shove" refere-se a uma coisa específica no 5e, descrita aqui nas regras:
Using the Attack action, you can make a special melee attack to shove a creature, either to knock it prone or push it away from you. If you're able to make multiple attacks with the Attack action, this attack replaces one of them.
The target must be no more than one size larger than you and must be within your reach. Instead of making an attack roll, you make a Strength (Athletics) check contested by the target's Strength (Athletics) or Dexterity (Acrobatics) check (the target chooses the ability to use). You succeed automatically if the target is incapacitated. If you succeed, you either knock the target prone or push it 5 feet away from you.
O feito abre uma exceção em relação ao momento do seu empurrão, mas todo o resto é o mesmo. A mecânica desse empurrão é descrita coletivamente na façanha e nesta seção das regras.
As regras sobre armas improvisadas descreva a mecânica de atacar com algo que não é uma arma ou de outro modo projetado para atacar. Eles não descrevem o momento de tais ataques.
O Ataque A ação permite que você faça um ataque (ou, com o recurso de classe Ataque extra, vários ataques) usando sua ação. As regras não especificam com o que você deve fazer esse ataque; portanto, você pode fazer esses ataques com qualquer combinação de armas (normal ou improvisada) ou ataques desarmados.
Nenhuma regra permite que você substitua o shove regular de ação bônus (concedido pelo Shield Master) por qualquer outro tipo de ataque ou ação - incluindo o uso do seu escudo como arma improvisada para atacar (e causar dano). Na ausência de tal regra, você não pode fazê-lo por RAW.
(Como sempre, o seu Mestre poderia dominar de outra maneira, mas isso essencialmente lhe concederia um ataque grátis a cada turno.)