Se eu fizer uma boa história de fundo para o meu personagem, é possível conseguir um companheiro animal ou dois devido à minha história de fundo, se o mestre do jogo aceitar? Os animais que eu quero são um urso pardo e uma quimera. Eu quero tê-los agora.
D&D, como na maioria dos RPGs, tem a "regra 0", que basicamente afirma que o GM / DM tem a palavra final em qualquer coisa.
Não existe uma regra existente em D&D que permita que você consiga companheiros de animais através do histórico. Além disso, as duas criaturas que você listou são monstruosidades, não bestas como costumam ser os companheiros de animais.
Se você está iniciando um novo personagem de baixo nível, duvido muito que a maioria dos GMs o permita, já que essas duas criaturas seriam mais fortes do que todos os membros de um grupo de baixo nível juntos.