Existem regras específicas que determinam o que acontece se, digamos, minha águia de estimação pousar no meu ombro em combate?
Ele recebe um bônus de CA? Eu me movo mais devagar? Nós nos movemos juntos?
Ou devo falar com o meu mestre sobre como criar uma nova casa?
Se sua águia pousar em seu ombro, desde que você seja pelo menos uma categoria de tamanho maior que a águia, as regras para montarias entrarão em jogo. Para responder suas perguntas diretamente, ele não ganharia um bônus para a CA, nem sofreria uma penalidade no movimento, mas ele se moveria com você no seu turno sem usar o movimento.
Observe que a águia precisaria usar metade de seu movimento para montá-lo, RAW, embora, como ele possa simplesmente voar sobre seu ombro, seria razoável que um Mestre ignore isso neste caso (eu faria).
Roubar de minha outra resposta, A partir do Combate montado regras:
A willing creature that is at least one size larger than you and that has an appropriate anatomy can serve as a mount, using the following rules.
...
Once during your move, you can mount a creature that is within 5 feet of you or dismount. Doing so costs an amount of movement equal to half your speed.
Ser montado por sua águia não deve impor nenhuma restrição a você, pois você seria considerado uma montaria independente:
An independent mount retains its place in the initiative order. Bearing a rider puts no restrictions on the actions the mount can take, and it moves and acts as it wishes.