Não, porque a montaria atua em um turno separado do seu

Carregador diz:

When you use your action to Dash, you can use a bonus action to make one melee weapon attack or to shove a creature.

• If you move at least 10 feet in a straight line immediately before taking this bonus action, you either gain a +5 bonus to the attack's damage roll (if you chose to make a melee attack and hit) or push the target up to 10 feet away from you (if you chose to shove and you
  succeed).

1 etapa

Portanto, a ideia básica do seu passo 1 está perfeitamente bem. Você executa a ação do traço, o que é permitido e isso significa que seu movimento aumenta. No entanto, observe que isso não afeta sua montagem (portanto, não há "aumento da velocidade em 10 ft", por exemplo). Também é bom observar aqui que o traço não modifica nenhuma velocidade; simplesmente concede movimento adicional.

2 etapa

Os problemas começam por aí passo 2 no entanto.

Desde que você usou a ação do traço, agora você pode realizar um ataque de ação bônus contra qualquer inimigo no alcance. No entanto, para obter o dano de bônus + 5, você deve primeiro mover pelo menos os pés 10 em uma linha reta imediatamente antes de tomar este ataque bônus.

Você pode pensar que mover sua montaria funcionaria, mas não. Isso ocorre porque uma montaria controlada parece, de acordo com as regras, agir em um turno separado da sua. Por Jeremy Crawford:

A rider and a controlled mount have separate turns, but they have the same initiative, which means you decide which one goes first.

Portanto, você não pode intercalar seus movimentos e ações (veja esta resposta para mais detalhes sobre isso e o debate em torno dele).

Isso significa que você deve terminar o seu turno para que a montaria se mova em direção ao oponente. Como não é mais o seu turno, você não pode realizar o ataque de bônus (ações de bônus devem ser executadas no seu turno) ou o dano + 5 (porque não é mais imediatamente após a ação do seu traço).

No entanto, se você disparou, desmontou e moveu os pés 10 + em linha reta em direção a um inimigo, com certeza seria capaz de obter seu ataque bônus com dano + 5.