É desconhecido[1]
Mas isso não parece ser possível.
Além da não morte de Nicholas de Mimsy-Porpington pelo Basilisco mencionada nas outras respostas (e a boa especulação sobre seguir em frente)[2]), a melhor evidência em que consigo pensar são as afirmações de que Pirraça não pode ser removido por nenhuma mágica conhecida (o que provavelmente incluiria "matá-lo", algo que provavelmente não seria considerado imoral contra um ser já morto).
Tornar-se um fantasma envolve mágica premeditada manipulando a alma de alguém, presumivelmente fazendo algo que a amarre a este mundo ou a desamarre do universo natural. (Diferente do tipo sombrio de mágica usada quando, por exemplo, amarrar um pedaço de alma a um objeto ao fazer um horcrux.)
Se for esse o caso, talvez seja possível fazer algo para desfazer essa modificação; mas novamente com referência a Pirraça, que algo não parece possível por outros seres que não o próprio fantasma disposto.
[1] A menos que a JKR tenha declarado especificamente o contrário, dos quais não tenho conhecimento.
[2] Não estou convencido de que fantasmas na HP sejam realmente o mesmo tipo de sensibilidade que bruxas e bruxos vivos; IIRC são descritos como mais memória congelada no tempo. (Vejo Fantasmas - Pottermore.) Eu pessoalmente o classificaria como “magia negra” porque interfere no ser e no status natural do bruxo ou bruxo, mas o Mundo Mágico parece querer ignorá-lo como um problema.