Pelas regras escritas, não.
Normalmente, em qualquer turno, o companheiro animal de um mestre das feras apenas faz o que é dito por seu mestre naquele turno, e não há nenhuma disposição dentro das regras para o companheiro seguir uma instrução por vários turnos, como, por exemplo, perseguir um inimigo ou continuar atacando um alvo específico. Se, em um determinado turno, você não usar sua ação para comandar o companheiro, ela simplesmente executará a ação Esquivar, independentemente de quaisquer comandos anteriores que possam ter sido dados.
à medida que o Mestre das Feras estados de descrição:
The beast obeys your commands as best as it can. It takes its turn on your initiative. On your turn, you can verbally command the beast where to move (no action required by you). You can use your action to verbally command it to take the Attack, Dash, Disengage, or Help action. If you don't issue a command, the beast takes the Dodge action. Once you have the Extra Attack feature, you can make one weapon attack yourself when you command the beast to take the Attack action.
Como originalmente era o caso de que, se o mestre estivesse incapacitado, a besta simplesmente se sentaria no lugar e executaria a ação de esquiva pelo resto do tempo, as erratas do PHB acrescentaram um parágrafo sobre como o companheiro se comporta se seu mestre está incapacitado ou ausente:
If you are incapacitated or absent, the beast acts on its own, focusing on protecting you and itself. The beast never requires your command to use its reaction, such as when making an opportunity attack.
Portanto, se você não é capaz de comandar a besta - seja porque você está incapacitado ou simplesmente porque não está lá - o companheiro voltará ao comportamento defensivo para proteger você e a si mesmo. Ele atacará coisas que o ameaçam ou a você, e se você não for uma preocupação, pode até fugir do perigo para se proteger, mas não tomará a iniciativa de perseguir ou atacar alvos não ameaçadores.
Se o companheiro se mudou para tão longe que não pode mais receber ordens de você, ele apenas age para se defender, e eu provavelmente diria que ele se vira e tenta encontrá-lo novamente; mas esta é uma situação muito improvável, já que a fera apenas movimentos quando instruído em um determinado turno, para não perseguir um inimigo por vários turnos sem que você esteja perto o suficiente para instruí-lo a continuar fazendo isso a cada turno.
Sim, isso é um pouco abaixo do esperado. Há uma razão pela qual o Ranger foi identificados pela equipe de D&D como sendo uma opção de caráter insatisfatória e fraca.