Quem é o procurador King Roberts entre Jon Arryn e Eddard Stark?

Nós não sabemos. Não há indicação nos livros de quem estava governando o reino enquanto o rei Robert estava fora. Então isso será especulação e inferência lógica.

Pequeno conselho de Robert

O Conselho Pequeno tinha os seguintes membros na época:

1. Ser Barristan Selmy, Senhor Comandante da Guarda Real
2. Senhor Petyr BaelishMestre da Moeda
3. Senhor Stannis BaratheonMestre de Navios
4. Senhor Renly Baratheon, Mestre em Direito
5. PycelleGrande Meistre do reino
6. Senhor VarysMestre dos Sussurros

Qualquer monarca pensaria duas vezes antes de deixar sua cidade nas mãos de outros homens, mas este pequeno conselho estava dividido e, portanto, não apresentava ameaça aparente ao rei. Selmy era nobre demais para intrigas na corte. Baelish e Varys abertamente se desprezavam. Stannis não gostava de todos e não gostava de todos. Renly era encantador, mas ele não se dava bem com Stannis e nutria suas próprias ambições de casar Robert com a filha de lorde Tyrell, Margaery. Pycelle estava sozinho.

Como já sugerido, foi o conselho do Pequeno que governou a presença de Robert também, de modo que não teria sido particularmente difícil para os membros agir sem uma mão formal ou com o rei para presidir seus procedimentos.

De qualquer forma, não está fora de questão que o pequeno conselho estivesse em contato com Robert. Robert ficou em castelos, por exemplo, como ele fez no castelo Darry em sua viagem de volta. Portanto, os corvos poderiam ser enviados a castelos para solicitar instruções ou informar sobre questões administrativas.

Quem poderia ter presidido o pequeno conselho?

Então, surge a pergunta: quem Robert designaria para chefiar o governo enquanto ele estava fora? A seguir seria o meu raciocínio:

1. Sor Barristan Selmy: O senhor comandante era uma figura respeitada nos sete reinos e não era homem de se entregar a conspirações e intrigas na corte. Robert tinha gostado do homem, o que é evidente pela sua nomeação para Lord Commandership of Kingsguard, apesar de lutar do outro lado. Mas ele pode ser demitido instantaneamente porque foi enviado pelo Small Council para receber o partido de King em seu retorno, o que significa ele não era o único chefe da administração.
2. Lord Varys: Estrangeiro e de nascimento baixo, Varys não era visto favoravelmente pelo povo ou pelos Lordes. Havia dois irmãos de King servindo no pequeno conselho que considerariam inaceitável servir sob um estrangeiro de nascimento baixo. Sem mencionar, Baelish se oporia ao comando de Varys. Além disso, Robert não gostava particularmente do homem. Ele perdoou Varys e o usou onde podia, mas não há indicação de que ele gostasse bastante dele. Portanto, devido ao baixo nascimento e à baixa opinião pública, podemos dispensar Varys também.
3. Lord Baelish: Bisneto de um mercenário estrangeiro, Petyr Baelish era o menor dos pequenos senhores do reino. Porque havia homens melhores nascidos presentes no pequeno conselho, Baelish também pode ser descartado. Além disso, Varys se oporia à sua nomeação. Stannis estaria bem, já que ele não gostava de Baelish por seu apoio aos corruptos Goldcloaks.
4. Lord Stannis Baratheon: O irmão mais novo de King nunca compartilhou um vínculo de afeto com ele. Ele era azedo e espinhoso e não gostava imensamente de Robert. Desde que Stannis fugiu de Kingslanding assim que Robert saiu, podemos descartar a ideia de que Stannis poderia estar dirigindo o reino enquanto Robert estava fora. Além disso, Renly se oporia à sua nomeação.
5. Lorde Renly Baratheon: Encantador e em boas relações com seu irmão, o rei, Renly seria perfeito para liderar o reino enquanto Robert estivesse fora. Mas sabemos que ele foi enviado com Sor Barristan para receber o partido real de Kingslanding a pedido do conselho. ele não poderia ser o único a presidir o pequeno conselho. E é claro que Stannis se oporia à sua nomeação.
6. Grand Maester Pycelle: Pycelle velho, sábio e experiente é o que nos resta então. Ele era Grand Meistre por quarenta anos e, portanto, possuía mais experiência em arte do que qualquer outro membro. Ele também não teve nenhuma discussão aberta com nenhum outro membro. E ele foi aliado da rainha Cersei Lannister. Portanto, é muito provável que ele poderia ser o líder do pequeno conselho neste período. Robert não tinha nenhum motivo particular para desconfiar de Pycelle. Sem mencionar, Robert muitas vezes dava a Cersei o que ela queria, desde que ele pudesse se livrar de sua irritação. Portanto, se Pycelle fosse aliado de Cersei, ele também a apoiaria.

Como você mencionou, é legalmente possível nomear uma mão interina do rei até que a oficial / permanente possa tomar seu lugar. Também é possível que o Conselho esteja agindo como um órgão combinado, atuando através do voto popular.