Legalmente, é necessário um passaporte válido ou documento de viagem equivalente para atravessar qualquer fronteira de um estado Schengen, seja uma fronteira interna ou externa do espaço Schengen. Não consigo encontrar uma lista de documentos de viagem equivalentes para a França, mas o da Itália lista apenas alternativas "exóticas" - documentos para refugiados, marítimos etc. (os nacionais de um país da UE e alguns outros precisam apenas de um bilhete de identidade).
Na prática, as fronteiras dentro do espaço Schengen não estão equipadas para verificações sistemáticas e há uma alta probabilidade de você passar sem perceber que passou pela fronteira. Há (ou costumava ser) verificações ocasionais de contrabando de drogas na estrada da Holanda para a França; Duvido que seja um problema se tudo o que você pode mostrar é uma carteira de motorista. É melhor se você tiver sua autorização de residência e uma fotocópia do seu passaporte - com esses documentos, seria excepcional encontrar problemas.
Até onde eu sei, não há penalidade direta por não ter um documento de identidade na França. (Eu sei disso para os nacionais; acho que também é verdade para os não nacionais.) Há uma obrigação de que você possa provar sua identidade mediante solicitação (tecnicamente, a solicitação deve ser justificada, mas na prática um policial pode encontre sempre um pretexto). Como estrangeiro, você também teria que provar seu direito de estar lá, caso contrário, poderá ser detido e expulso. Novamente, com uma prova de identidade, como uma carteira de motorista, além de uma cópia do seu passaporte e autorização de residência, é muito improvável que você tenha problemas.
A única coisa que você não pode fazer com segurança sem um passaporte é voar. Todas as companhias aéreas comerciais exigem um passaporte (ou bilhete de identidade), mesmo para voos internos da Schengen. Eles geralmente não checam, mas se o fizerem, provavelmente não o deixarão embarcar no voo se você não tiver uma documentação aceitável para eles.