Essa é a fórmula correta para as permutações totais de um conjunto de dados? [fechadas]

As permutações de dados são calculadas como "Permutações com repetição / substituição", o que significa, intuitivamente, que se você rolar 2d6, obter um 6 no primeiro dado não o impede de obter um 6 no segundo dado. (Em oposição a "Permutações sem repetição / substituição". Um exemplo disso é colocar seis tiras de papel numeradas em uma urna e extrair duas delas, literalmente, sem substituir a primeira tira antes de extrair a segunda - agora, obter um 6 no primeiro deslize impede que você obtenha um 6 no segundo deslizamento.)

Calcular permutações com repetição é muito fácil. Construirei a intuição em alguns passos:

1. Considere rolar 1d6. O número de permutações é, trivialmente, 6:

\ begin {array} {r | llllll} \ text {Die One} e \ text {1} e \ text {2} e \ text {3} e \ text {4} e \ text {5} e \ text { 6} \\ \ hline \ end {array}

Observarei de passagem que \ $ 6 ^ 1 \ $ é \ $ 6 \ $ e que poderíamos usá-lo para qualquer rolo único de algum dado com faces Y: $$ \ text {1dY} \ rightarrow Y ^ 1 = Y $$

2. Considere rolar 2d6:

\ begin {array} {r | llllll} \ text {Die Two \ Die One} & \ text {1} & \ text {2} & \ text {3} & \ text {4} & \ text {5} & \ text {6} \\ \ hline 1 & \ text {1,1} e \ text {1,2} e \ text {1,3} e \ text {1,4} e \ text {1,5} e \ text {1,6} \\ 2 & \ text {2,1} e \ text {2,2} e \ text {2,3} e \ text {2,4} e \ text {2,5} e \ text {2,6} \\ 3 & \ text {3,1} e \ text {3,2} & \ text {3,3} & \ text {3,4} & \ text {3,5} & \ text {3,6} \\ 4 & \ text {4,1} & \ text {4,2} e \ text {4,3} e \ text {4,4 } & \ text {4,5} & \ text {4,6} \\ 5 & \ text {5,1} & \ text {5,2} e \ text {5,3} & \ text {5,4} e \ text {5,5} e \ text { 5,6} \\ 6 & \ text {6,1} & \ text {6,2} & \ text {6,3} & \ text {6,4} & \ text {6,5} & \ text {6,6} \\ \ end {array}

Você pode contar as entradas na tabela e criar o 36. Mas você também pode pensar nisso como estender a tabela para um rolo 1d6: Cada uma das seis entradas da primeira tabela é transformada em sua própria lista nova e separada, com seis entradas exclusivas. Isso ocorre porque não importa o que rolamos no primeiro dado, podemos obter qualquer um dos seis valores no segundo dado. Assim, podemos simplesmente calcular o 6 vezes as entradas 6 = 36. Se generalizarmos isso para dois dados, cada um com lados Y, isso nos deixa com:

$$ \ text {2dY} \ rightarrow Y ^ 2 $$

3. Considere rolar 3d6. Não vou desenhar a tabela grande, mas, estendendo o que fizemos acima, transformamos cada uma das entradas da tabela 36 em, novamente, sua própria lista exclusiva de mais seis entradas. (Porque, novamente, não importa o que lançamos nos dois primeiros dados, podemos lançar qualquer um dos seis valores para o terceiro).

Para o caso específico de 3d6, teríamos entradas de 36 vezes 6 = 216.

Esse processo básico de pensamento vale para qualquer dado com lados Y que jogamos X vezes, ou seja, $$ \ text {XdY} \ rightarrow Y ^ X $$

Observe que o X e o Y trocam de lugar em ambos os lados da expressão! Isso não é um erro.

3. Mas e algo estranho, como 1d6 + 1d4? O mesmo processo básico:

\ begin {array} {r | llllll} \ text {Die Two \ Die One} & \ text {1} & \ text {2} & \ text {3} & \ text {4} & \ text {5} & \ text {6} \\ \ hline 1 & \ text {1,1} & \ text {1,2} & \ text {1,3} e \ text {1,4} & \ text {1,5} e \ text {1,6} \\ 2 & \ text {2,1} e \ text {2,2} e \ text {2,3} e \ text {2,4} e \ text {2,5} e \ text {2,6} \\ 3 & \ text {3,1} e \ text {3,2} & \ text {3,3} & \ text {3,4} & \ text {3,5} & \ text {3,6} \\ 4 & \ text {4,1} & \ text {4,2} e \ text {4,3} e \ text {4,4 } & \ text {4,5} & \ text {4,6} \\ \ end {array}

Apenas observe aqui que cada uma das seis entradas do primeiro dado é correspondida apenas com QUATRO entradas do segundo dado. Na expressão abaixo, estou usando valores Y com subscritos

$$ \ text {1dY} _1 + \ text {1dY} _2 \ rightarrow Y_1 ^ 1 \ vezes Y_2 ^ 1 $$

4. Não importa o quão estranho nós fiquemos a partir daí, desde que falemos de dados simples, continuamos multiplicando pelo número de rostos no novo dado que acabamos de adicionar. A fórmula completa em toda a sua generalidade se torna:

$$ \ texto {X} _1 \ texto {dY} _1 + \ texto {X} _2 \ texto {dY} _2 + \ pontos + \ texto {X} _N \ texto {dY} _N \ rightarrow Y_1 ^ {X_1} \ times Y_2 ^ {X_2} \ pontos Y_N ^ {X_N} $$

5. Como nota final, a adição de uma constante (por exemplo, 3d6 + 6) não muda nada, e a constante pode ser ignorada para encontrar o número de permutações. Tecnicamente, pode-se considerar "um dado de um lado" e multiplicar por um, mas isso é um pouco precioso.

Para o seu exemplo específico, existem permutações 2,985,984:

\ begin {array} {r | llll} \ N & X_N & Y_N & {Y_N ^ {X_N}} \\ \ hline 1 & \ text {4} & \ text {2} e \ text {16} \\ 2 & \ text {4} & \ text {4} & \ text {256} \\ 3 & \ text {6} e \ text {3} & \ text {729} \\ \ hline \ text {product} & \ texto {} & \ text {} & \ text {2985984} \\ \ end {array}

Cada dado é um evento independente. O número correto de permutações é \ $ 2 ^ 4 4 ^ 4 3 ^ 6 \ $.