Corrigir isso poderia ser possível fazer por conta própria. Como indicado nos comentários, você já viu que há uma haste rosqueada embaixo da pia que teria sido usada como parte de um sistema de fixação para segurar a torneira contra a bancada e apertada por baixo através de uma porca e um C arruela moldada que tem um buraco nela. Se é verdade que isso simplesmente foi desparafusado ao longo do tempo, a fixação é apenas para remontá-lo e apertar a porca de baixo, o que exigiria uma ferramenta. Uma chave ajustável pode ser apenas a ferramenta para esse aperto.
No entanto ... parece bastante improvável que a vareta rosqueada simplesmente tenha sido desparafusada com o tempo. Seria mais provável que a parte em que a haste enroscou na parte de baixo da parte interna da torneira tenha se partido e é por isso que de repente ela ficou solta. Inspecione a haste com rosca para ver se ela tem uma peça quebrada em uma extremidade de si mesma. Também olhe para a parte inferior da montagem da torneira onde os tubos entram para ver se você consegue identificar o local onde a haste deve enroscar. Ainda está lá ou parece que foi quebrado lá? No caso em que a parte interna se partiu, é provável que esta montagem de torneira necessite de substituição. Não haverá cola ou selante que possa ser usado para manter esse conjunto no lugar da bancada de azulejos de uma maneira utilizável a longo prazo.