Is there such a thing as a one month railpass for Tokyo, and is it worth the price if I take the train an average 5 times a day?
Não, até onde eu sei, existem apenas bilhetes de transporte público, que são válidos apenas para uma rota específica. Note também que existem várias empresas que operam o transporte público em Tóquio, e cada uma tem seus próprios bilhetes; Há tickets válidos para vários ou todos os operadores, mas é bastante intransparente. O PASMO ou o SUICA parecem ser os mais convenientes. Se você de fato usar o trem 5 vezes por dia, passes de 1 dia como o tíquete Combinação de Tóquio ou o Tíquete de Tóquio de 3 dias (para turistas) podem valer a pena, mas preste atenção em para que operadores são válidos!
Alternatively, can I rent a bike for a month, and if yes, how viable is it opposed to public transport?
Eu acho que é uma ótima maneira de conhecer a cidade, e o centro de Tóquio é bem compacto. Olhe para um mapa para ver onde você quer ir e ter uma noção das distâncias.
I'm worried that August would be too hot to cycle for longer periods.
Isso depende da sua aptidão e tolerância ao calor e ao suor. Mas sim, agosto tende a ser quente e úmido.