Ambos os nomes se referem à mesma pessoa; Melkor é o primeiro nome pelo qual ele era conhecido, enquanto Morgoth é um nome dado a ele por seus inimigos.
Melkor, o nome original, é o que ele teve desde o começo, quando ele fazia parte da música de Ilúvatar. O nome é de origem em quenya e significa "aquele que surge em poder", pois foi considerado o mais poderoso dos Ainur que entrou em Arda (e foi assim chamado de Valar). Ele foi chamado por esse nome até que as Duas Árvores em Valinor morreram por sua mão (com a ajuda da criatura aranha Ungoliant), os Silmarilli foram roubados e ele fugiu de Valinor para a Terra-média.
Após aquele evento importante, ele recebeu o nome de Morgoth (ou, totalmente, Morgoth Bauglir) de Feanor. Morgoth está em Sindarin, e significa "Dark Foe" ou alguma variante similar (você pode ver a raiz "Mor", para dark, repetida em muitos nomes, como Mordor. "Goth" pode ser encontrada em Gothmog, senhor dos Balrogs ). "Bauglir", da mesma forma, significa "Tyrant" ou "Opressor".
The Feanor rose, and lifting up his hand before Manwe he cursed Melkor, naming him Morgoth, the Black Foe of the World; and by that name only was he known to the Eldar ever after.
O Silmarillion, cap. 9.
Então, corretamente, Melkor é o único nome verdadeiro que ele tem. "Morgoth" é uma denominação dada a ele por seus inimigos, declarando-o seu inimigo até o fim dos tempos.