É tudo o mesmo cão, e é basicamente apenas uma brincadeira.
O cão que os segue até a casa de Lebowski depois da volta de Bunny é o cachorro de Walter de acordo com o roteiro oficial (e também em este script on-line).
The Dude and Walter nevertheless continue toward the great study. Walter's dog follows, stiffly wagging its tail.
E sabemos que é o cachorro de Walter porque está na van quando Walter pega o cara. Nós podemos ouvir o cachorro latindo no furgão e ver brevemente ele enfiando a cabeça pela janela ao fundo quando o Cara está falando com o detetive particular. Também acompanha Walter na casa de Lebowski, e obviamente parece o mesmo.
Para que a cena anterior seja basicamente apenas uma brincadeira, e IMDb e Moviemistakes.com parecem concordar. Mas eu estou dizendo 'basicamente' porque poderia ser explicado, num trecho: Quando vemos Walter colocando a gaiola vazia no teto do carro, abrindo a porta e colocando a bola de boliche lá dentro, nós ouvimos o que soa como garras de cachorro embaralhando e seu chocalhar tag antes de Walter fecha a porta. Embora ele nunca olhasse para baixo, ele segurou a porta aberta por tempo suficiente para o cão pular (nós apenas não a vimos), e provavelmente não se preocupou em colocá-la em sua gaiola apenas para a carona para casa.