Sim. Você pode mover um familiar fora LTH

A duração da magia encontrar familiar é instantânea

Many spells are instantaneous. The spell harms, heals, creates, or alters a creature or an object in a way that can’t be dispelled, because its m agic exists only for an instant. (phb 203)

significa que após o lançamento inicial não há nenhum feitiço ativo para dissipar .

Sim. Você pode conjurar magias pelo familiar

Sim, enquanto você está dentro do LTH, você pode conjurar magias pelo seu familiar, pois o alcance dos feitiços é tocar. O feitiço é lançado pelo lançador com origem no familiar e tem um alcance de toque. Nunca um feitiço atravessa a barreira. A magia não passa pelo efeito de barreira e, portanto, não é bloqueada.

Estes foram falados em esta pergunta sobre qual parte de um familiar é mágica

LTH não terminará

Ter o familiar dentro durante o lançamento significa que ele não excederá o limite de criatura e o familiar que se move fora da cabana não removerá a cabana.

Você ainda está dentro da cabana.

D & D conta corpos, não mentes. Você ainda está lá a menos que você saia. Seu familiar não é você. Portanto, a cabana permanecerá intacta. (O Mestre pode decidir que sua mente deve estar dentro da cúpula para manter a cabana, mas por RAW isso não acontece.)

Você está perdendo um fator técnico. O feitiço cria um hemisfério, portanto, qualquer feitiço que não é dirigido de você, ou seja, mãos em chamas, mas conforme encontrar um recurso familiar ..

... your familiar can deliver the spell as if it had cast the spell.

Assim, o recurso de classe trata o familiar como o conjurador ... se o feitiço não passar pela cúpula. Dependeria das especificidades de cada feitiço para ver o que poderia ser lançado ou não, mas eu sinto que isso funcionaria de acordo.

Não, você não pode conjurar mágicas ou similares via familiar

A parte relevante da descrição da magia é (PHB, pg 255):

Spells and other magical effects can't extend through the dome or be cast through it.

Eu diria que mudar para a mente do seu familiar conta como um efeito mágico, e lançar feitiços através dele certamente conta (assumindo que o familiar está fora da cúpula e você está dentro dele). No entanto, o familiar ainda deve ser capaz de passar pela cúpula e agir, simplesmente não usando suas habilidades mágicas.

Para resolver sua pergunta " Se eu mudar minha mente para o meu familiar dentro da cabana, e o familiar deixar o LTH, o LTH termina? " diretamente, mudar sua mente para o seu familiar terminaria como o familiar deixa a cúpula (já que é um efeito mágico), mas a própria LTH não terminaria a menos que você a deixasse fisicamente.

Mais uma vez, para " Se eu puder mudar para o meu familiar fora do LTH, deixei o Hut, mesmo que meu corpo ainda esteja dentro? ", você não seria capaz de fazer isso você está tentando usar um efeito mágico fora da cúpula.