A resposta existente é um pouco curta, então responderei sua pergunta linha por linha.
I am a uk/us dual citizen. I came to the states on an ESTA.
Se você é cidadão dos EUA, como entrou no ESTA? Você já é um cidadão.
I'm aware I can only stay in the states for 90 days on the esta.
No ESTA, sim. Mas se você já é um cidadão dos EUA, o ESTA é irrelevante.
I am getting my American passport whilst I'm here. Can I then use my us passport to somehow extend my stay here?
Um passaporte é apenas um documento que mostra sua cidadania para outras pessoas e outros países. Se você já é cidadão americano, não precisa de um passaporte americano dentro das fronteiras dos EUA. Qualquer documentação que verifique sua identidade (e mostre sua nacionalidade dos EUA) (por exemplo, uma carteira de motorista) deve ser suficiente. Você pode prolongar a sua estadia? Sim. Você é um cidadão. Você pode ficar o tempo que quiser.