A Parseltongue apenas permite que você se comunique com uma cobra ou assuma o controle dela também?

O livro não sugere que Harry tenha total controle sobre a cobra. A citação do encontro com Justin Finch-Fletchley afirma:

He brandished his wand at the snake and there was a loud bang; the snake, instead of vanishing, flew ten feet into the air and fell back to the floor with a loud smack. Enraged, hissing furiously, it slithered straight toward Justin Finch-Fletchley and raised itself again, fangs exposed, poised to strike.

Harry wasn't sure what made him do it. He wasn't even aware of deciding to do it. All he knew was that his legs were carrying him forward as though he was on casters and that he had shouted stupidly at the snake, "Leave him alone!" And miraculously - inexplicably - the snake slumped to the floor, docile as a thick, black garden hose, its eyes now on Harry. Harry felt the fear drain out of him. He knew the snake wouldn't attack anyone now, though how he knew it, he couldn't have explained.

A cobra estava pronta para atacar e Harry gritou para parar. Eu igualaria isso a usar uma voz firme com um cachorro. Mesmo se você não é dono desse cachorro e não está familiarizado com você; geralmente, se você usar uma voz firme, o cão obedecerá. Também ajuda que a cobra já "entenda" a língua que está sendo falada.

O relacionamento com Voldemort e Nagini é um pouco diferente, como mencionado por Dumbledore em Half Blood Prince (ênfase minha):

I think he is perhaps as fond of her as he can be of anything. He certainly likes to keep her close and has an unusual amount of control over her, even for a Parselmouth.

Parece claro que até Dumbledore acha que o nível de controle que Voldemort tem sobre Nagini é incomum. Presumivelmente, porque Nagini contém uma parte de sua alma, Voldemort tem um "controle" mais strong sobre ela. É também provável que Voldemort esteve na companhia de Nagini por algum tempo (e possivelmente possuiu Nagini no passado), o que teria fortalecido o vínculo entre eles.

“That is believed to be some sort of monster, which the Heir of Slytherin alone can control,” said Professor Binns in his dry, reedy voice.

Embora eu não tenha nenhuma evidência para apoiá-lo, meu palpite pessoal é que isso depende das intenções. Por exemplo, quando Harry estava no zoológico, a comunicação era de uma maneira conversacional. No entanto, quando ele parou a cobra de atacar Justin e quando ele abriu a porta para a câmara de segredos, ele usou mais força em sua voz. Ele estava em pânico com Justin e acabou de tirá-lo. Parece que me lembro dele tentando e falhando com o rabisco para abrir a porta da câmara de segredos até que ele disse com mais força. Então eu sinto que você pode controlar cobras quando você coloca força mágica no comando e Harry não é treinado, então ele apenas as comanda sem querer.