Deve ser capaz de
Until the spell ends, the creature can use an action to exhale energy of the chosen type in a 15 foot cone. (XGE 54)
Isso está usando uma ação, não fazendo um ataque, o que é relevante porque:
Your familiar acts independently of you, but it always obeys your commands. In combat, it rolls its own initiative and acts on its own turn. A familiar can't attack, but it can take other actions as normal.
Seu familiar não tem permissão para atacar, mas ele pode usar a ação oferecida pelo Respiração do Dragão.
Isso deixa apenas o argumento "Sua coruja não pode fazer esses tipos de manobras", o que parece um pouco frágil na melhor das hipóteses, se você puder comandá-lo para ir a algum lugar para permitir que você execute uma magia de toque à distância, imagine que também seja inteligente o suficiente para usar a parte da respiração do feitiço.
É claro que é perfeitamente possível para o seu Mestre decidir que a coruja não pode fazer isso, mas não parece ser suportada pelo RAW.