Então, primeiro - qualquer um pode usar qualquer arma. A proficiência apenas determina se você pode adicionar seu bônus de proficiência às suas jogadas de ataque.
Proficiency with a weapon allows you to add your proficiency bonus to the attack roll for any attack you make with that weapon. If you make an attack roll using a weapon with which you lack proficiency, you do not add your proficiency bonus to the attack roll.
Se você olhar sob suas proficiências de monge, uma das coisas listadas aqui é "armas simples". O arco curto é uma arma simples, então você não precisa ser um elfo de madeira para ser proficiente nisso.
Como você disse, as armas de monge são palavras-chave e quaisquer armas brancas simples. O arco curto não é uma dessas coisas, então não é uma arma de monge. No entanto, isso não significa que você não pode usá-lo - significa apenas que ele não se beneficiará da sua habilidade em Artes Marciais.