Três motivos:

1. Não sabemos se isso é verdade.
2. Ned Stark é um homem honrado que cumpre suas promessas.
3. Os livros seriam muito chatos se tudo fosse explicado de forma imediata e clara.

Esta resposta é em parte dos livros, mas como a maior parte da evidência da teoria de Rhaegar e Lyanna é dos livros, eu assumirei que está tudo bem.

Considere que se Lyanna e Rhaegar são os pais de Jon Snow, então Jon Snow seria um Targaryen. Como tal, ele quase certamente seria morto por Robert, dado que Robert quer todos os Targaryens sobreviventes mortos (como com sua ordem de assassinato de Daenerys). Jon iria enfurecer Robert em particular porque Robert acredita que Lyanna foi estuprada por Rhaegar, então ele seria um lembrete / insulto a Robert.

Lembre-se que Eddard tinha acabado de se desentender com Robert sobre o assassinato de Aegon e Rhaenys, então Eddard provavelmente esperaria uma ação violenta de Robert se Jon Snow fosse o filho de Rhaegar.

SE o que você diz é verdade ... É uma crença popular, mas, como eu digo no meu comentário, ainda não foi confirmado pelo autor / nos próximos livros.

A questão é marcada game-of-throne, que é a tag da série. Na série, não me lembro de nenhuma evidência clara de que Jon não seja filho de Eddard.

Quando Eddard vê Jon pela última vez (quando ele sai para King's Landing, enquanto Jon sai para o Muro) ele diz algo como "Eu vou te contar tudo o que você quer saber sobre sua mãe na próxima vez que nos encontrarmos". Então eu acho que ele simplesmente não planejou morrer antes de dizer a verdade.

Se você quer uma resposta baseada em livros, o mais provável é que Lyanna provavelmente tenha perguntado Eddard para não dizer a verdade: ela o fez fazer alguma coisa. Nós não sabemos o que, mas provavelmente para reivindicar Jon como seu filho. Veja a resposta de Warwick para detalhes sobre as razões para isso.

Parece haver duas razões principais para que isso ocorra.

Prometa-me, Ned

Ned é um homem honrado e prometeu a Lyanna que não contaria a ninguém.

Lyanna Stark: You have to protect him. Promise me, Ned.
_{Game of Thrones, Season 7 Episode 7, "The Dragon and the Wolf"}

A ameaça do Targaryen

Quando descobrimos sobre os verdadeiros pais de Jon, também descobrimos outro pequeno segredo que Jon era realmente um filho legítimo de Rhaegar Targaryn e Lyanna Stark. Como tal ele é na verdade um Targaryen.

Bran Stark: Jon isn't really my father's son. He's the son of Rhaegar Targaryen and my aunt, Lyanna Stark.
...
Bran Stark: He's never been a bastard. He's the heir to the Iron Throne. He needs to know. _{Game of Thrones, Season 7 Episode 7, "The Dragon and the Wolf"}

É por isso que Lyanna pediu a Ned para proteger a criança, se Robert tivesse descoberto que ele o teria matado.

Lyanna Stark: Please. Listen to me, Ned. If Robert finds out, he’ll kill him, you know he will. You have to protect him. Promise me, Ned. Promise me. Promise me, Ned. Promise me.
_{Game of Thrones, Season 6 Episode 10, "The Winds of Winter"}

É pela mesma razão que ele queria que Dany morresse.

Robert Baratheon: The whore is pregnant.
Eddard Stark: You're speaking of murdering a child.
Robert Baratheon: I warned you this would happen. Back in the North, I warned you, but you didn't care to hear. Well, hear it now. I want 'em dead, mother and child both. And that fool, Viserys as well. Is that plain enough for you? I want them both dead.
_{Game of Thrones, Season 1 Episode 5, "The Wolf and the Lion"}