Pelo que você escreveu, não, você não pode fazer isso tão facilmente.
O seu interruptor de transferência é um circuito de 10. Vamos supor que 6 desses circuitos alimentem cargas na seção "nova" da sua casa, e seria conveniente para você mover a chave de transferência para a garagem para simplificar a fiação desses 6 circuitos. Eu acho que é o ímpeto da sua pergunta?
Até aí tudo bem. Você pode instalar uma chave de transferência na garagem, conectar seu gerador a ela e alimentar esses 6 circuitos a partir do gerador ou do subpainel da garagem. Fiação mínima, como o gerador fica ao lado da garagem.
Mas e os 4 circuitos restantes da chave de transferência atual perto do painel principal? Você não pode alimentá-los através do fio 6-3 existente (back-feed).
Você poderia conectar um segundo fio entre o painel principal e o sub-painel da garagem, para levar a energia do gerador até a chave de transferência existente. Você teria 2 switches de transferência, em paralelo.
Outra opção seria mover a chave de transferência para sua garagem e instalar fios extras para transportar esses circuitos (4 no meu exemplo) de volta ao painel principal. Se o seu interruptor de transferência só muda os pontos e não os neutros, então você precisa conectar apenas os pontos, por exemplo, como fios individuais em um eletroduto EMT.