Por mais que eu também aconselhe você a procurar outras perguntas sobre Roma para obter detalhes, posso responder a você com o seguinte:
What shoud I see with highest priority?
Se você estiver hospedado perto da estação Termini (principal estação de trem), pode caminhar pela Nazionale ou via Cavour da estação até a Via dei Fori Imperiali, que é a estrada que se estende ao longo do Coliseu e (é claro) Fori. Imperiali. Dado o seu tempo, você provavelmente não vai encontrar nada em aberto (desde que você precisa de uma hora para voltar para o hotel, mudar e tomar um banho). No final da estrada há Piazza Venezia com outro monumento enorme (Altare della Patria). De lá você pode ir a muitos lugares, mas eu aconselharia ir até a Piazza del Popolo, a Piazza di Spagna, a Piazza Navona, a Fontana di Trevi (procure o que você pode encontrar lá).
Definitivamente, uma escolha sábia seria passar uma noite em torno de Trastevere (que você pode chegar de metrô ou ônibus), explorar suas ruas estreitas, tomar algumas bebidas e comer uma "Osteria".
Any not too expensive shops/ markets where I can buy something to drink/eat?
Os supermercados seriam a melhor escolha, mas você pode encontrar um monte de "pizzaria", onde você pode comprar apenas um pedaço de pizza e refrigerantes ou até mesmo cerveja. Há também algumas sorveterias e fast-foods lá, então eu acho que você não vai passar fome.
Bars and restaurants where I want to try pastas, pizzas and local food with not too high prize?
Para ser honesto, evito essa área a todo custo, quando se trata de comer. Uma escolha segura seria seguir em direção a Trastevere, onde você pode até perguntar a algumas pessoas o que você deve comer. Pizza e fingerfood como Supplì são tipicamente bons e baratos, mas na verdade você deve perguntar aos jovens.
Há, agora que penso nisso, um lugar perto da Via Cavour, onde você pode comer uma boa massa: La Carbonara . Vai sem dizer, você deve tentar comer carbonara lá.