Armas de Berserker não restringem o modo como você usa sua ação de bônus
Regras como Escritas e Regras como Pretendido concordam: você pode usar sua ação de bônus livremente enquanto estiver em berserking.
While berserk, you must use your action each round to attack the creature nearest to you with the axe. If you can make extra attacks as part of the Attack action, you use those extra attacks, moving to attack the next nearest creature after you fell your current target.
Mesmo que ações de bônus sejam apenas um tipo especial de ação o fato de que o item diz "ação" (singular) em vez de "quaisquer ações que você tenha" ou "seu turno completo", significa que a arma só deve usar sua ação normal em cada turno.
Além disso, o texto assume que você é capaz de atacar com esta ação a cada turno, isso não é de todo uma ação de bônus em geral e é mais um apoio para que ações de bônus não sejam incluídas nos efeitos de maldição.
Jeremy Crawford apóia explicitamente essa interpretação:
Q: Regarding the Berserker's axe, when berserking is triggered, can the player still use his move and bonus on his turn or no?
A: The berserker axe doesn't prevent a bonus action, and you can move freely if you fulfill the attack requirement.
Isso também significa que, uma vez que você tenha se movido e atacado, você também pode se mover como quiser.
Mas o uso proposto de uma ação de bônus ainda não funcionaria
With an Aura of Vitality, could I use my bonus action to heal my ally after the first hit[?]
Jeremy Crawford esclareceu:
No general rule allows you to insert a bonus action between attacks in a single action. You can interrupt a multiple-attack action with a bonus action/reaction only if the trigger of the bonus action/reaction is an attack, rather than the action.
Você está realizando a Ação de Ataque e recebendo vários ataques do recurso Extra Attack. No entanto, você não pode inserir uma ação de bônus no meio de outra Ação, a menos que a ação de bônus diga que você pode. A ação de bônus de aura de vitalidade não diz, portanto você não pode fazer isso.
No entanto, você poderá usar a ação de bônus após a conclusão da ação de ataque.
Reações funcionam normalmente
[Could I] use my reaction to take the damage instead of him on the second hit?
As reações são separadas das ações e, portanto, não são afetadas completamente pelos requisitos da maldição.
Para este caso especificamente, Aura of the Guardian afirma:
When a creature within 10 feet of you takes damage, you can use your reaction to magically take that damage, instead of that creature taking it.
Como o gatilho está causando dano, você pode transferir o dano para você mesmo. Você poderia até usar essa reação entre os ataques se quisesse (ao contrário da ação bônus, cure conforme descrito acima).