O uso de tiras de apoio para segurar em patches de drywall é uma técnica de reparo padrão. Muitas vezes, os parafusos que prendem as placas de apoio são inseridos através de gesso de som ou placas de gesso a partir do lado da sala acabado.
Sua abordagem parece razoavelmente boa, mas eu adicionaria alguns parafusos do lado bom, tomando cuidado para não quebrar o gesso tanto quanto você instalasse. Uma vez que você parece ter um reboco real, prefiro perfurar os buracos, embora, ao enfiar no drywall, não seja necessário.
Finalmente, você está fazendo algum arranjo para uma abertura real para o lado de fora? Umidade desabafada para um espaço sótão é simplesmente errado, levando a possíveis danos de umidade e mofo. Fechar o bad vent é um começo, mas não a solução completa para o problema. Como aponta @JamesOlson em seu comentário, uma janela que pode ser aberta é uma ventilação adequada; mas se não houver nenhum, é necessário algum outro orifício exterior.