Pode. Ou não pode. Em geral, a regra de ouro é não fornecer mais informações do que as solicitadas, mas também não reter nenhuma informação ou mesmo fazê-lo. Você pode considerar comprar um novo passaporte, mas para um oficial de visto que normalmente levanta mais perguntas do que sai do caminho, então eu evitaria isso. Observe também que há uma cota anual de 1000 para os cidadãos do Reino Unido, por isso pode ser apenas azar se você for recusado. Dito isto, boa sorte! Nos dê uma atualização quando você receber uma resposta!
Versão mais antiga da minha resposta, agora desatualizada, dada a edição OP:
PARE! Pare o que você está fazendo agora e faça sua própria pesquisa. Você pode estar recebendo SCAMMED. Não confie em nenhuma empresa ou consultor.
Primeiro, eu não sei de um "visto de férias de trabalho" para ir para a China. Ele não está listado na lista de tipos de vistos chineses na Wikipédia. Há exatamente um site que resulta no alto nível do Google falando sobre isso e, além da aparência horrível do site, parece absolutamente não profissional em não fazer distinção entre a China e Taiwan. Na verdade, existe um programa desse tipo em Taiwan , não na China. ( Os programas para a China são apenas considerações por enquanto. ) Existe também um para Hong Kong mas, em seguida, lembre-se de que você estará trabalhando apenas em Hong Kong, e não na China, que deve ser visto como um país separado para as finalidades aqui.
Dada a história de como você conseguiu esse selo feio em seu passaporte, você deve ser muito mais cuidadoso em termos de quais conselhos de empresas você confia.