Não há regras explícitas, mas a intenção parece permitir
O companheiro de um ranger parece ser considerado um NPC (regras como pretendido)
Jeremy Crawford chamou o companheiro de um ranger de animal de um NPC em várias ocasiões:
Want an NPC companion? No one needs a special class feature to have a companion. Roleplaying, skills (such as Persuasion for intelligent creatures and Animal Handling for beasts), and the adjudication of the DM are all you need.
e novamente :
No one has to take a subclass to have [an animal] companion, and the DM controls whether NPCs decide to stick around.
NPCs especiais costumam usar regras de PC em vez de regras de monstros
Isso o colocaria na categoria potencial de "personagens não-jogadores especiais", conforme descrito nas regras que cobrem Monstros e Morte:
Most DMs have a monster die the instant it drops to 0 hit points, rather than having it fall unconscious and make death saving throws. Mighty villains and special nonplayer characters are common exceptions; the DM might have them fall unconscious and follow the same rules as player characters.
Note que isto está explicitamente no domínio da regra DM aqui, mas há indicação de que os NPCs fazendo testes de resistência à morte não são apenas permitidos, mas "comuns". Sendo que os companheiros animais parecem ser considerados NPCs, aplicar essa regra aqui parece muito razoável.
Permitir lances de salva-vidas não parece ter muitas desvantagens significativas
As únicas desvantagens que eu posso pensar da minha experiência em várias mesas onde companheiros de animais obtiveram lances salvadores de morte são que ocasionalmente adiciona mais rolagem de dados e escrituração, o que pode diminuir a velocidade de certas situações de combate.
Permitir lances de salvação é geralmente mais divertido
Geralmente, ninguém gosta de ter um companheiro para morrer. Assim, uma regra que torne menos provável a morte do acompanhante provavelmente significará menos estresse e um pouco mais de diversão na mesa. Obviamente, a ameaça da morte está lá e é real (assim como é para os PdJs), mas permitir que eles sejam tratados da mesma forma pelo menos reduz a possibilidade de que um acidente ou crítico aberrante mate instantaneamente um companheiro potencialmente estimado e precioso sem chance de prevenção.