Sua suposição está correta. Não há razão para que ser Companheiro Animal de um Arqueiro possa fazer com que uma montaria esqueça ou ignore seu treinamento. A citação que você incluiu contém as principais informações aqui:
You can control a mount only if it has been trained to accept a rider.
Portanto, Dash, Disengage e Dodge são coisas que foram treinadas para fazer quando um piloto de costas dá os sinais apropriados. (Cavando em seus calcanhares, balançando as rédeas, no entanto, funciona.) Não custa nenhuma ação do ciclista porque a montaria foi treinada para responder ao cavaleiro dessa maneira.
E como você disse, ainda custaria uma ação enquanto não estivesse montado; Nesse ponto, você está de volta à sua capacidade de comandá-lo verbalmente usando sua ação.