Os monges podem ganhar o benefício do Dual Wielder Feat com seus ataques desarmados?

A empunhadura dupla exige que você "segure" ou "empunhe" uma arma. Você não pode empunhar ou segurar "ataques desarmados", então eles não devem contar para empunhar duas vezes. Caso contrário, essa parte das "artes marciais" não seria necessária, uma vez que basicamente afirma que você agora (ao contrário de antes) pode empunhar duas vezes com ataques desarmados:

When you use the Attack action with an unarmed strike or a monk weapon on your turn, you can make one unarmed strike as a bonus action.

O estilo de luta "duelo" também fala por isso. Eu não acho que alguém argumentaria que esse bônus não deveria se aplicar se você não tivesse nada em sua outra mão!

When you are wielding a melee weapon in one hand and no other weapons, you gain a +2 bonus to damage rolls with that weapon.

Sim.

Um ataque desarmado é uma arma simples, corpo a corpo, uma mão, como tal, conta como uma arma para o TWF. Então, para ambos os seus casos, seria válido.

É mesmo válido para um não-monge, pois esse ataque está disponível para qualquer pessoa que seja proficiente em Armas Simples. A chave é que ele não está disponível para alguém empunhando um escudo, um item ou um implemento que não seja uma arma em sua mão.

Isto não é explicitamente abordado nas regras, mas a maneira como é apresentado na tabela de armas e em outros lugares implica strongmente esta interpretação.

A descrição de Dual Wielder diz que você

Gain a +1 bonus to AC
Use Two-Weapon fighting, even when the one handed melee weapons you are using aren't light.

e

You can draw or stow two one-handed weapons when you would normally be able to draw or stow only one. pg 165 PHB

A descrição do Two-Weapon Fighting diz

When you attack with a light melee weapon you're holding in one hand, you can use a bonus action to attack with a different light weapon that you're holding in the other hand. You don't add your ability modifier to the damage of the bonus attack unless the modifier is negative. pg 195 PHB

A descrição das ações de bônus diz:

You can take only one bonus action on your turn, so you must choose which bonus action to use when you have more than one available pg. 189 PHB

E a descrição das artes marciais indica:

When you use the Attack action with an unarmed strike or a monk weapon on your turn, you can make one unarmed strike as a bonus action.

O resultado é que você obtém +1 para AC, conforme indicado acima. Qualquer personagem pode atacar com dois ataques desarmados desde que o segundo ataque seja a ação bônus. O que um monge recebe é adicionar seu bônus de modificador de habilidade ao dano com o segundo ataque. Nenhum outro jogador consegue isso.

Mas o Dual Wielder é redundante e desnecessário. Se você colocar os 2 pontos que lhe custariam para o talento em Destreza ou Sabedoria, você teria um ponto extra de AC, além de quaisquer bônus aplicáveis às suas habilidades.