Esta é a maneira correta de conectar o circuito de três vias com os interruptores e luzes nas posições que você descreve. As convenções e cores dos fios são para os EUA.
Observe a fita preta (ou tinta) nos fios brancos que são usados como comutados em vez de neutros.
As linhas laranja representam os fios de aterramento de falha. Estes geralmente são omitidos de um diagrama de fiação instrucional, mas o seu 12/3 foi conectado estranhamente, então eu quero mostrar o aterramento adequado.
Um cabo 12/2 possui três condutores, dois com isolamento próprio (em cores diferentes) e um fio desencapado que só é isolado do mundo pela capa do cabo. Da mesma forma, um cabo de 12/3 tem quatro condutores, três com isolamento codificado por cores e um nu. Os fios desencapados devem ser usados como aterramento de falha e somente como aterramento de falha. Nunca permita que eles carreguem corrente durante a operação normal.
Se os cabos tiverem esses fios desencapados, conecte-os todos juntos e conecte-os a tudo que pareça ser capaz de conduzir eletricidade. Se as caixas de junção forem de metal, conecte-as. Se as lâmpadas tiverem parafusos de aterramento, conecte-as. Apenas aterre tudo o que puder.
Você pode abrir uma exceção para qualquer caixa que contenha um switch; desde que o quadro do switch é de metal e é parafusado na caixa, o parafuso de aterramento no switch será suficiente. Além disso, em algumas jurisdições, as luzes de teto não precisam ser aterradas.
Nota - o conselho nesta resposta é de um estranho na Internet que não é um eletricista licenciado e que não leu as leis aplicáveis para a sua localização.