As magias lançadas usando itens mágicos são tratadas como se você as tivesse lançado
DMG 141 afirma,
Some magic items allow the user to cast a spell from the item. The spell is cast at the lowest possible spell level, doesn't expend any of the user's spell slots, and requires no components, unless the item's description says otherwise. The spell uses its normal casting time, range, and duration, and the user of the item must concentrate if the spell requires concentration.
A passagem relevante nos estados da magia Find Familiar,
Finally, when you Cast a Spell with a range of touch, your familiar can deliver the spell as if it had cast the spell.
Note que ambas as passagens aqui usam a terminologia "lançar um feitiço" na primeira linha. Na verdade, quase todos esses itens são cuidadosos ao usar essa expressão. A equipe específica que você está referenciando é homebrew, mas replica exatamente esse texto.
A ideia chave aqui é que o usuário está lançando a magia do item. Para todos os efeitos, o usuário está lançando a magia normalmente, como se eles tivessem conhecido e preparado a magia por si mesmos. Portanto, como o alcance do Contágio é o toque, seu familiar deve ser capaz de entregar o feitiço.