O que exatamente é o Rei Bruxo de Angmar?

Primeiro, o Necromante de Dol Guldur , que você se lembra mencionado em "O Hobbit", NÃO foi o Rei Bruxo de Angmar, mas seu chefe - o próprio Sauron.

O Tolkien Gateway tem um artigo sobre muito bom sobre o Rei Bruxo .

... Sauron ... gave nine of them [Rings] to Mannish kings, sorcerers, and other warriors.[Silmarillion].

With these rings the Nine achieved glory and grew wealthy, with the ability to turn invisible at will, not aging, but hating life as they were slowly drawn under Sauron’s dominion. Eventually all became Ringwraiths, the Nazgûl.

The one later known as the Witch-king was one of these, likely one of the unnamed three lords of Númenor to take the rings [Silmarillion]

He first appeared in the histories as a Ringwraith in S.A. 2251. Being the most powerful of the Nazgûl, he became their chief, the most dreaded servant of his master Sauron.

Fontes:

• O Silmarillion, "Dos Anéis do Poder e da Terceira Era", p. 289
• O Silmarillion, "Akallabêth: A Queda de Númenor", p. 267, Ballantine Books p. 320

Todos os nove dos Nazgull eram os primeiros homens, poderosos de fato, cada um deles foi corrompido pelos anéis que Sauron lhes deu.

Those who used the Nine Rings became mighty in their day, kings, sorcerers, and warriors of old. They obtained glory and great wealth, yet it turned to their undoing. -Silmarillion pg 346

Alguns textos dizem que três deles eram grandes Senhores de Numenor (o Rei Bruxo sendo um deles). Depois de se tornarem corrompidos, cada um deles estava completamente sob a vontade de Sauron. Especificamente, o Rei Bruxo era considerado apenas o mais poderoso dos Nazgull, assim como o tenente de Sauron. Ele foi um estrategista / estrategista fantástico, aparentemente, como foi mostrado em sua campanha contra Arnor.

EDITAR: Ah, também, o Necromante era na verdade Sauron como DVK já mencionou.