TL; DR: O Um Anel contém não apenas uma porção da força vital de Sauron & poder, mas também a capacidade de controlar os outros anéis de magia dada a cada raça.
Já existem muitas respostas boas aqui, mas todas elas se referem aos livros & conhecimento expandido. Como a pergunta original era sobre a versão do filme, pensei em escrever uma resposta usando apenas o que estava lá. No primeiro filme, há duas cenas principais que explicam o poder do anel.
O primeiro é durante a narração de Galadriel no começo. Depois de descrever a criação dos anéis e quem os recebeu, ela afirma:
GALADRIEL (V.O.) : For within these rings was bound the strength and will to govern each race.
[FADE TO BLACK]
GALADRIEL (V.O.) : But they were all of them deceived.
[FADE UP: An ancient PARCHMENT MAP of MIDDLE EARTH...moving slowly across the MAP as if drawn by an unseen force the CAMERA closes in on a PLACE NAME...MORDOR.]
GALADRIEL (V.O.) : ...for another ring was made.
[TEASING SHOTS: SAURON forging the ONE RING in the CHAMBERS of SAMMATH NAUR.]
GALADRIEL (V.O.) : In the land of Mordor, in the fires of Mount Doom, the Dark Lord Sauron forged in secret a Master Ring to control all others.
[IMAGE: The ONE RING reflecting FIERY LAVA. FIERY WRITING emerges on the plain BAND OF GOLD.]
GALADRIEL (V.O.) : ...and into this Ring he poured his cruelty, his malice and his will to dominate all life.
[IMAGE: THE ONE RING falls through SPACE and into flames...]
GALADRIEL (V.O.) : One Ring to rule them all...
Isso nos diz que até mesmo os anéis básicos de poder têm dentro deles a "força e vontade de governar cada raça". Essa é aparentemente uma qualidade inerente a TODOS os anéis, não apenas aos de Sauron. A diferença é que Sauron controla os outros anéis, não as raças. O Um Anel em si é um canal através do qual Sauron pode tocar nos outros anéis.
Em seguida, temos a cena em que Gandalf informa a Frodo que seu anel é o Um Anel:
FRODO : But he was destroyed...Sauron was destroyed.
[ANGLE ON: THE RING, Lies between them on the table.]
GANDALF : No, Frodo. The spirit of Sauron has endured. His life force is bound to the ring and the ring survived. Sauron has returned. His Orcs have multiplied...his fortress of Barad- dur is rebuilt in the land of Mordor. Sauron needs Only this ring to cover all the lands in the second darkness. He is seeking it, seeking it, all his thought is bent on it. For the ring yearns, above all else, to return to the hand of its master: they are one, the Ring and the dark lord. Frodo, he must never find out.
Então, estes dois tomados como um todo nos dizem que Sauron não apenas derramou suas próprias qualidades no anel durante sua construção, mas ele realmente o amarrou em seu próprio poder & força vital. Portanto, qualquer medida de poder & o mal que igualamos a Sauron, devemos também equiparar isso ao próprio Anel, já que é essencialmente uma extensão do próprio Sauron. O "como" exatamente nunca é explicado nos filmes, mas eles definitivamente explicam a questão de "por que" o anel é considerado tão poderoso e maligno.