A maioria dos países não concede às pessoas permissão para morar lá apenas porque sua orientação sexual não permite que elas se casem de onde vêm. O risco de acusação devido à orientação sexual é um fator considerado quando se concede / rejeita um pedido de asilo, mas não parece que essa é a sua situação.
Em alguns países (a maioria), ambas as pessoas envolvidas teriam que ser cidadãs, outras poderiam ficar satisfeitas se você pudesse convencer as autoridades locais de que nenhum dos envolvidos já é casado.
Em alguns países, você pode se casar em uma igreja ou na prefeitura (ou onde quer que as autoridades locais façam isso), a maioria das igrejas provavelmente requer alguma forma de associação e tem procedimentos que demoram muito, então não sonhe com isso.
Se você (e seu parceiro) quiser ir para a França (ou qualquer outro lugar na Europa), solicite um visto. Se você conseguir, você pode tentar pesquisar se você pode se casar quando estiver fora.
E se você (e nosso parceiro) realmente quiser migrar e morar em outro país. travel.SE não é o site, expatriados.SE é uma opção melhor.