Sim, faz
Quando um efeito só pode acontecer uma vez por turno, o Livro dos Monstros o especifica. Por exemplo, o Assassino (MM 343) tem Ataque Furtivo:
Sneak Attack (1/Turn). The assassin deals an extra 13 (4d6) damage when it hits a target with a weapon attack and has advantage on the attack roll, or when the target is within 5 feet of an ally of the assassin that isn't incapacitated and the assassin doesn't have disadvantage on the attack roll.
Já que o doppelganger não indica um número máximo de vezes que ele pode causar o dano bônus, então ele se aplica a todos os seus ataques.