Eu aposto que os dois fios que são colados juntos são neutros, não terrestres. (BTW, essa fita deve ser substituída por uma porca de fio.) Não parece haver um fio terra nesta caixa. A caixa de metal em si pode ou não ser aterrada por um conduíte ou armadura metálica. Você não poderia dizer com certeza sem uma verificação mais detalhada, além do escopo de uma resposta do StackExchange.
Você definitivamente não quer conectar o fio terra a um neutro. O switch funcionará, mas não é seguro.
O NEC 404.9 (B) aborda o aterramento de switches.
(B) Grounding. Snap switches, including dimmer and similar control switches, shall be connected to an equipment grounding conductor and shall provide a means to connect metal faceplates to the equipment grounding conductor, whether or not a metal faceplate is installed. Snap switches shall be considered to be part of an effective ground-fault current path if either of the following conditions is met:
(1) The switch is mounted with metal screws to a metal box or metal cover that is connected to an equipment grounding conductor or to a nonmetallic box with integral means for connecting to an equipment grounding conductor.
(2) An equipment grounding conductor or equipment bonding jumper is connected to an equipment grounding termination of the snap switch.
Exception to (B): Where no means exists within the snapswitch enclosure for connecting to the equipment grounding conductor or where the wiring method does not include or provide an equipment grounding conductor a snap switch without a connection to an equipment grounding conductor shall be permitted for replacement purposes only. A snap switch wired under the provisions of this exception and located within reach of earth, grade, conducting floors, or other conducting surfaces shall be provided with a faceplate of nonconducting, noncombustible material or shall be protected by a ground-fault circuit interrupter.
Portanto, se a caixa em si estiver aterrada, você poderá conectar o fio terra no interruptor à caixa com o pigtail e um parafuso de aterramento ou clipe de aterramento.
Se não houver solo disponível e você estiver substituindo um interruptor existente, você pode cobrir o solo e usar uma placa de plástico. Existem alguns locais onde você deve instalar a proteção GFCI se o circuito já não o tiver quando você substituir o switch.
Mesmo que o código não exija sua fiação antiga, a instalação da proteção GFCI em circuitos sem terra vale a pena ser examinada, pode não ser muito cara e é uma grande melhoria na segurança.