Não, você não precisa de uma fonte de água para criar o chicote.
O Chicote de Água não é um feitiço, portanto não segue as regras de conjuração de componentes que foram encontrados no capítulo 10 do PHB. Também não há nada em sua descrição que afirme que tal exigência seja necessária.
Mesmo se fosse um feitiço, a seção sob o título Conjurar Magias Elementares na página 80 afirma:
To cast one of these spells, you use its casting time and other rules, but you don’t need to provide material components for it.