But Quirell doesn't understand how to get the stone out of mirror, it implies that he sees nothing than just a reflection of himself in the mirror.

Isso não está correto. Como você insinua na sua pergunta, na verdade:

'I see the Stone ... I'm presenting it to my master ... but where is it?'

Harry Potter and the Philosopher's Stone - p.210 - Bloomsbury - chapter 17, The Man with Two Faces

Então funcionou como Dumbledore esperava que fosse. Harry só queria encontrar a pedra. Ele não tinha outro propósito, ele não queria encontrar a pedra para xyz , ele só queria encontrar a Pedra. A explicação de Dumbledore é um pouco abreviada e simplificada. O que ele quer dizer é que qualquer um que queira a Pedra para algum outro propósito além de possuir a Pedra, verá apenas esse propósito. Embora devamos supor que Dumbledore "fez alguma coisa", porque o Espelho não revela puramente a localização da Pedra, a Pedra realmente cai no bolso de Harry.

Agora, sobre:

"What does this mirror do? How does it work? Help me, Master!"

Quirrell nunca encontrou o Espelho de Erised antes. Isso não quer dizer que ele pensa que é um espelho comum e que ele apenas se vê. Não, é só que ele não descobriu porque ele se vê apresentando Voldemort com a Pedra ainda. Ele não sabe o que é ou como usá-lo, ou - finalmente - como conseguir a Pedra.

Porque Quirell queria usá-lo!

A chave dessa situação é que Voldemort não tinha um corpo - ele estava usando o corpo de Quirell . Conseqüentemente, foi Quirell, não Voldemort, que queria que a pedra usasse - Voldemort não conseguia fazer um corpo para si mesmo e então não podia usar a pedra. Voldemort precisava de Quirelll. Então Quirell fez querer usar a pedra! Isso é porque ele Quirell não conseguiu pegar a pedra!