Sim, um passaporte dos EUA (como qualquer passaporte não pertencente à UE / EEE) será carimbado quando você entrar na Irlanda ou no Reino Unido. Não haverá carimbo de saída quando você sair; A Irlanda e o Reino Unido não têm controles de saída. Mas mesmo que o seu destino não tenha lhe dado um carimbo de entrada (como se você retornasse aos EUA, potencialmente), o carimbo de saída de Schengen é realmente o que eles estarão procurando, e você conseguirá isso independentemente de onde você for para.
Por acaso, prepare-se para grelhar quando entrar na Irlanda ou no Reino Unido. "Estou aqui para contornar as restrições de imigração, mas prometo que sairei em uma semana" não é exatamente o que um IO deseja ouvir. Traga documentação de tudo, particularmente documentando a certeza absoluta de que você está prestes a receber um visto de residente.