Embora a torneira parece ser uma torneira de estilo mais antigo, parece-me mais como um modelo que ainda está em produção e ainda está disponível. Baseado não só na foto, mas também no vídeo.
Essa torneira tem um cartucho em vez de uma válvula de haste, como as torneiras mais antigas podem ter. Pode ser tão simples quanto algo preso no cartucho ou o cartucho está gasto.
A primeira coisa que eu faria é tentar trocar os cartuchos de água quente e fria para ver se o ruído segue o cartucho. Em caso afirmativo, substitua o cartucho.
Se esse não for o problema, certifique-se de que tudo esteja bem apertado onde o bico encontra o corpo da torneira e verifique se todos os fixadores da tubulação estão seguros.
Existem alguns fabricantes que fazem esse estilo de torneira que você precisará contatar para um cartucho de substituição. A Home Depot tem atualmente uma da Glacier Bay, que seria o meu primeiro palpite desde que eles estão por aí há algum tempo. Aqui está um link para a torneira em HomeDepot .com para referência.