Você pode fazer ataques desarmados em Wild Shaped, mas eles causam dano normal de desarme.
Da errata para o PHB:
Melee Attacks (p. 195). The rule on unarmed strikes should read as follows: “Instead of using a weapon to make a melee weapon attack, you can use an unarmed strike: a punch, kick, head-butt, or similar forceful blow (none of which count as weapons). On a hit, an unarmed strike deals bludgeoning damage equal to 1 + your Strength modifier. You are proficient with your unarmed strikes.”
Um ataque desarmado agora é definido de forma extremamente clara. No lado positivo, um ataque desarmado pode substituir qualquer ataque com uma arma. Do Livro dos Monstros, página 10:
The most common actions that a monster will take in combat are melee and ranged attacks. These can be spell attacks or weapon attacks, where the "weapon" might be a manufactured item or a natural weapon, such as a claw or tail spike.
Assim, seus ataques desarmados podem definitivamente substituir seus ataques naturais.
A desvantagem disso é que seus ataques naturais definitivamente não contam como ataques desarmados, então você só pode causar o dano de ataque desarmado normal. Isso também foi confirmado por Jeremy Crawford .