Dado o mesmo motor, por que instalar uma caixa de mudanças em um turboélice, mas não em um turbofan?

Quanto maior o diâmetro, menor a velocidade ideal. Geralmente, as pás do ventilador e da hélice devem funcionar em alta pressão dinâmica, mas ainda em velocidades subsônicas, para evitar as maiores perdas envolvidas com o fluxo supersônico. Como a ponta será a parte com a maior velocidade, e as hélices têm diâmetros maiores que os dos ventiladores, as hélices operam em velocidades mais baixas.

O compressor de alta pressão e as turbinas de um motor de avião funcionarão acima de dez mil RPMs, enquanto a hélice deseja operar de 1800 a 2200 RPM. As hélices no Tu-95 funciona mesmo com apenas 750 RPM . Tanto o ventilador quanto a hélice são alimentados por turbinas separadas de baixa pressão, que também têm uma velocidade ideal, e quanto mais rápido a turbina estiver funcionando, mais torque produzirá para um determinado tamanho. Por essa razão, a turbina de baixa pressão e o eixo de um grande motor de avião operam entre 2500 e 4000 RPM, e a turbina do PT-6 , um motor turboélice clássico, a 30.000 RPM. Como a potência é o torque vezes RPM, um eixo de corrida mais rápido será mais leve do que um funcionando em baixa velocidade, portanto a velocidade é reduzida apenas diretamente no suporte da hélice.

A velocidade ideal de um ventilador é entre a do compressor e a hélice e seria na ordem de várias centenas de quilowatts no caso de um grande motor de avião. Alguns pequenos motores com apenas uma única turbina usam caixas de câmbio já (por exemplo, o Lycoming ALF507 ), e agora a próxima geração de motores de ventiladores eficientes também estão introduzindo caixas de engrenagens. Mas até agora, a maioria dos projetos de motores preferiu rodar o ventilador mais rápido do que seria ideal. Observe que a velocidade de ponta de um ventilador moderno e sem iluminação é já bem acima de Mach 1 .

Seu maior diâmetro torna hélices mais eficientes . Quanto mais massa de ar estiver envolvida na criação de empuxo, maior será a eficiência da propulsão. Os ventiladores precisam ser menores precisamente porque funcionarão com a velocidade da turbina de baixa pressão, e para converter a potência disponível em empuxo, eles precisam de uma relação de maior solidez , o que se traduz em uma superfície molhada mais alta, o que aumenta as perdas por fricção.

There it says "optimum rotational speed". Is that the speed of the compressor? The speed of the fan?

Ambos. Cada um tem sua própria velocidade ideal (que não é a mesma) e a engrenagem permite que eles trabalhem nessa velocidade. Definir o que é "ótimo" faz parte do trabalho dos engenheiros; geralmente "ideal" é o que dá a máxima eficiência, mas dependendo das restrições do projeto, uma velocidade diferente pode ser selecionada.

How does the gearbox know which is that "optimum speed"?

Não "conhece", é simplesmente construído para que tudo corra bem. Em esta questão , foi explicado por que não há transmissão manual em aeronaves: a relação de transmissão é fixa. Isso também responde à sua pergunta, é fixo e a relação de marcha é selecionada durante a fase de projeto.

Why would there be a gearbox in the turboprop but not on the turbofan?

Porque a hélice funciona a velocidades muito mais lentas. O ventilador pode ser conectado diretamente à turbina de baixa pressão, enquanto uma hélice giraria muito rápido.

A hélice gira muito mais devagar que a ventoinha porque opera com um princípio diferente: a ventoinha acelera uma quantidade menor de ar por um maior $ \ Delta V $ (tem que atuar também como um estágio inicial para o compressor) a hélice acelera uma quantidade maior de ar por um menor $ \ Delta V $. Esta diferença é perceptível também em outros três aspectos: o ventilador é canalizado e tem muito mais pás (lembre-se, é um primeiro estágio para o compressor), enquanto a hélice tem algumas pás e não é canalizada; Além disso, como Peter menciona em sua resposta, a hélice geralmente tem um diâmetro maior do que um ventilador.

Por favor dê uma olhada em esta questão onde as diferenças entre o turbofan e o turboélice são discutidas

Os motores Turbofan se beneficiariam de uma caixa de engrenagens entre a turbina LP e o ventilador, assim como os turboélices. O problema é duplo:

1. A escala da caixa de câmbio. Um B777 fornece mais de 100.000 hp de potência (torque na velocidade de rotação dos ventiladores). O maior turbofan de engrenagens atualmente em produção e instalado em aeronaves em serviço regular, o PW1000G , produz 30.000 hp.
2. O ambiente ao qual a caixa de engrenagens está exposta. Manobras, rajadas de vento, batidas de aterrissagem, turbulência de ar criam grandes problemas para manter a ventoinha de engrenagem girando dentro de tolerâncias apertadas com a nacela.

A Rolls Royce está atualmente desenvolvendo e testando o Ultrafan e testou com sucesso a 70.000 hp. O atual Trent 1000 tem a turbina LP funcionando na mesma rotação do ventilador, e isso resulta na turbina LP rodando de forma relativamente lenta. O problema é parcialmente resolvido expandindo-se o raio da turbina LP, de modo que as velocidades lineares da pá da turbina sejam maiores.

Expandir a turbina LP ainda não é uma opção, devido às maiores penalidades de arrasto e peso que isso envolveria. Uma caixa de engrenagens aceleraria a turbina LP e permitiria um diâmetro menor de LP, com menor peso associado.

Fonte: uma discussão com um engenheiro da Rolls Royce no Singapore Airshow.

Os motores turboélice são (geralmente) alimentados por motores de fluxo centrífugo ou axial / centrífugo. Estes são menores (novamente, geralmente) do que um mecanismo de fluxo axial. Este pequeno tamanho permite que os componentes girem em velocidades realmente muito, muito ridículas, até 50.000 rpm (talvez mais). Girar uma hélice a até 5000 rpm é muito ineficiente durante os poucos segundos em que as pás ficariam juntas. A caixa de câmbio reduz a rotação para velocidades lentas o suficiente para projetar uma hélice em volta.

Uma hélice tem um diâmetro maior do que um ventilador, e por causa disso, a estrutura da lâmina em uma hélice sustenta mais 'g' (mais força de centrífuga se você quiser) para que a lâmina de uma hélice eventualmente exploda se gira para jejuar, porque há mais massa longe do centro de rotação, "puxa" tudo para fora. É a inércia rotacional. (e você precisa de um grande diâmetro de hélice porque precisa fornecer pressão suficiente para o avião voar).

A eficiência determina a velocidade rotacional otimizada das hélices e das turbinas, de modo que uma caixa de engrenagens manterá ambas as melhores condições.

Como outros disseram, as velocidades ótimas da turbina (menor) e da propulsão de um turboélice são totalmente incompatíveis, com a turbina precisando se mover várias vezes mais rápido, enquanto que em turbofans quando não são ótimas, elas são tipicamente próximas o suficiente sua velocidade ideal que o aumento de peso, custo, complexidade e potencial de falha de uma caixa de transmissão para transmitir a enorme quantidade de energia que vai para o ventilador não vale a pena, então um eixo direto é usado.

Alguns turbofans menores são voltados , o que permite uma turbina mais rápida e eficiente e um ventilador mais lento e silencioso, mas é apenas recentemente que um turbofan com engrenagens grande o suficiente para um A320 foi produzido, então eu espero que eles estejam um pouco fora ainda para widebodies.