Não há nada nas regras do 5e (pelo menos que eu saiba) que permita ou impeça a aquisição de um animal de estimação não-mágico que não seja de combate.
Isso significa que se você pode ou não ter um animal de estimação é total e totalmente compatível com seu Mestre.
Quanto a haver ou não um problema de equilíbrio relacionado a ter um animal de estimação, eu não ficaria muito preocupado com isso. Pode ocasionalmente fornecer um benefício muito pequeno (eu talvez deixasse prover vantagem uma vez por dia se eu quisesse algo explicitamente mecânico para isso), mas em geral não seria importante e seria meramente um elemento de sabor para um personagem. / p>
Dito isto, se você fez desejar um elemento mecânico para um animal de estimação, o feitiço 'Localizar Familiar' seria um bom lugar para obter um animal de estimação que não seja de combate e que tenha alguma utilidade mecânica.
Em resumo, não há nada nas regras que permita ou impeça isso, então consulte seu DM, mas saiba que provavelmente não será uma preocupação mecânica (especialmente se for explicado explicitamente que não pode ser). Se houver necessidade de mais peso mecânico, então encontrar familiar é um bom modelo.
No aspecto mais geral, eu só posso falar com 4e, mas tinha um tema chamado Animal Master que lhe deu um companheiro animal que era basicamente apenas um pet de vaidade com um pequeno benefício mecânico (você poderia usá-lo para ganhar combate vantagem uma vez por dia). Era um lacaio, portanto não muito efetivo em combate e era principalmente uma peça de sabor com um benefício menor.