Você provavelmente pode fazer isso, mas não funciona como você sugere

Channel Divinity: Knowledge of the Ages ...As an action, you choose one skill or tool. For 10 minutes, you have proficiency with the chosen skill or tool.

Sim, você pode escolher uma habilidade temporariamente proficiente contanto que seu agente trabalhe com você

Ver que o Conhecimento das Idades o torna proficiente em uma habilidade temporariamente, parece que não há nada que o impeça de ser um alvo válido para Expertise. Provavelmente não é um uso intencional, mas nada nas regras o impede.

No entanto, será necessário usar a habilidade Conhecimento das Idades, cuidadosamente ou por sorte, coincidindo com o momento de subir de nível para que isso seja feito. Isso provavelmente envolverá algum nível de meta-jogo por parte do jogador (e cooperação do Mestre) (ou alguma sorte) para o trabalho. Se isso é desaprovado varia de mesa para mesa e certamente não é inerentemente errado.

Portanto, desde que o Mestre esteja bem com isto, não há regras pelo que você não pode escolher a habilidade Conhecimento das Idades para o alvo da Especialização.

Se você não é proficiente em uma habilidade, você não ganha nenhum benefício de Expertise

O conhecimento não concede proficiência, apenas dobra o bônus de habilidade em que você já é proficiente, quando você faz uma verificação de habilidade com ele.

Expertise [C]hoose two of your skill proficiencies. Your proficiency bonus is doubled for any ability check you make that uses either of the chosen proficiencies.

Observe que Expertise se aplica apenas a proficiências, não habilidades em geral. Se a habilidade que você está tentando aplicar não é uma proficiência para seu personagem, então Expertise não pode se aplicar e nada é dobrado.

Isto é apoiado pelo PHB:

[I]f a feature or effect allows you to multiply your proficiency bonus when making an ability check that wouldn’t normally benefit from your proficiency bonus, you still don’t add the bonus to the check. For that check your proficiency bonus is 0, given the fact that multiplying 0 by any number is still 0. For instance, if you lack proficiency in the History skill, you gain no benefit from a feature that lets you double your proficiency bonus when you make Intelligence (History) checks. (PHB 174)

Assim, se você não é proficiente em uma habilidade, essa habilidade não pode se beneficiar da Expertise. Mesmo se você está recebendo um bônus de Jack of All Trades, essa habilidade ainda não é uma proficiência para você e, portanto, não pode ser alvo de Expertise em primeiro lugar.

Isto é como é apresentado em cada caso:

Enquanto o conhecimento de idades está ativo

Enquanto você ainda é proficiente na habilidade, você adicionaria seu bônus de proficiência a ele. Assim, Jack of All Trades não se aplicaria a ele. Assim, seria $$ AbilityMod + ProfBonus * 2 $$

Quando o conhecimento das idades acabar

Assim que o Knowledge of the Ages acabou, você perde completamente a proficiência nessa habilidade. Uma vez que essa habilidade não conta mais como uma de suas perícias de perícia, você não ganha nenhum benefício de Expertise (de acordo com o PHB). Assim, apenas Jack of All Trades se aplica e adiciona metade do seu bônus de proficiência na verificação de habilidade.

O cálculo seria agora $ AbilityMod + ProfBonus * 0.5 $$

O conhecimento das idades é ativado novamente

Se você obtiver proficiência nessa habilidade novamente (permanentemente ou temporariamente), a habilidade será agora um alvo válido para a Especialização novamente. Nesse caso, o cálculo retornaria para $$ AbilityMod + ProfBonus * 2 $$

Sim

Este caso específico é abordado nas páginas 173-174 do PHB.

If a feature or effect allows you to multiply your proficiency bonus when making an ability check that wouldn’t normally benefit from your proficiency bonus, you still don’t add the bonus to the check. For that check your proficiency bonus is 0, given the fact that multiplying 0 by any number is still 0. For instance, if you lack proficiency in the History skill, you gain no benefit from a feature that lets you double your proficiency bonus when you make Intelligence (History) checks.

Então, sim, espera-se que você acabe com Expertise em coisas que você não tem proficiência em alguma forma , apesar do fato de que o sistema também tenta impedir sua habilidade de fazer isso. . Se você atingir Expertise com uma habilidade na qual não tem proficiência, seu modificador de proficiência para essa habilidade é 0. Com Jack of All Trades, no entanto, seu modificador de proficiência terminará em seu total usual depois de multiplicar e dividir.

Note, no entanto, que ao fazer isso você está se prendendo a ter experiência nessa habilidade, o que você provavelmente se beneficiaria mais ao se vincular a uma habilidade que você usa com frequência e que possui proficiência. Você não recebe muito escolhas de especialização, afinal.

Você tecnicamente ainda possui Especialização na Habilidade

O conhecimento especializado permite:

Choose two of your skill proficiencies. Your proficiency bonus is doubled for any ability check you make that uses either of the chosen proficiencies.

Quando o Conhecimento das Idades expirar, você ainda terá a perícia na habilidade, mas você não terá nenhum bônus de proficiência para dobrar para essa habilidade. Mantenha uma nota sobre ter Expertise para aquela skill em particular, porque se você readquire a skill, você ainda terá Expertise nela.

Para cada habilidade em que você é proficiente, você pode adicionar seu bônus de proficiência a verificações que envolvam essa habilidade. Expertise permite dobrar isso. Se você não tem Proficiência em uma Habilidade, você não adiciona nada ao uso da habilidade, e nada do dobro de Expertise ainda não recebe nada. $$ 2 * 0 = 0 $$

Isso é feito em backup no PHB nas páginas 173-174:

If a feature or effect allows you to multiply your proficiency bonus when making an ability check that wouldn’t normally benefit from your proficiency bonus, you still don’t add the bonus to the check. For that check your proficiency bonus is 0, given the fact that multiplying 0 by any number is still 0. For instance, if you lack proficiency in the History skill, you gain no benefit from a feature that lets you double your proficiency bonus when you make Intelligence (History) checks.

Então, você ainda tem o Expertise, que ainda dobra o que você faz adicionar da proficiência, mas apenas ter Expertise não lhe dá a capacidade de adicionar o seu Modificador de Proficiência. No entanto, se você obtiver qualquer modificador de proficiência por meio de outro traço, o texto implicará que você faça duplicar esse modificador, quando for dito

For that check your proficiency bonus is 0, given the fact that multiplying 0 by any number is still 0.

Agora, como isso funciona com Jack of All Trades

Starting at 2nd level, you can add half your proficiency bonus, rounded down, to any ability check you make that doesn't already include your proficiency bonus.

Com a maneira como isso funciona, se você escolher fazer isso, você estará adicionando o Modificador de Proficiência completo à Verificação de Capacidade, mas somente para essa Habilidade específica, porque adicionar duas metades obtém um valor inteiro. $$ 2 * 0,5 = 1 $$